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初中數學知識點總結:勾股定理及其逆定理

2012-04-27 09:26 | 来源:网络资源 | 作者:未知 | 本文已影响 人

 

知識點總結


一、勾股定理:
1.勾股定理內容:如果直角三角形的兩直角邊長分別爲a,斜邊長爲c,那麽a2+b2=c2,即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。
2.勾股定理的證明:
 勾股定理的證明方法很多,常見的是拼圖的方法
 用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是:
(1)圖形進過割補拼接後,只要沒有重疊,沒有空隙,面積不會改變;
(2)根據同一種圖形的面積不同的表示方法,列出等式,推導出勾股定理。

4.勾股定理的適用範圍:
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關系,它只適用于直角三角形,對于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。
二、勾股定理的逆定理
1.逆定理的內容:如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那麽這個三角形是直角三角形,其中c爲斜邊。
 說明:(1)勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法,它通過“數轉化爲形”來確定三角形的可能形狀,在運用這一定理時,可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較,若它們相等時,以a,b,c爲三邊的三角形是直角三角形;
(2)定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一種表現形式,不可認爲是唯一的,如若三角形三邊長a,b,c滿足a2+b2=c,那麽以a,b,c爲三邊的三角形是直角三角形,但此時的斜邊是b.
2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否爲直角三角形的一般步驟:
(1)確定最大邊;
(2)算出最大邊的平方與另兩邊的平方和;
(3)比較最大邊的平方與別兩邊的平方和是否相等,若相等,則說明是直角三角形。
三、勾股數
 能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱爲勾股數.
四、一個重要結論:
由直角三角形三邊爲邊長所構成的三個正方形滿足“兩個較小面積和等于較大面積”。
五、勾股定理及其逆定理的應用
解決圓柱側面兩點間的距離問題、航海問題,折疊問題、梯子下滑問題等,常直接間接運用勾股定理及其逆定理的應用。
 

常見考法


(1)直接考查勾股定理及其逆定理;(2)應用勾股定理建立方程;(3)實際問題中應用勾股定理及其逆定理。
 

誤區提醒


(1)忽略勾股定理的適用範圍;(2)誤以爲直角三角形中的一定是斜邊。
【典型例題】2010 湖北孝感)
[問題情境]
勾股定理是一条古老的數學定理,它有很多种证明方法,我国汉代數學家赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名數學家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。
[定理表述]
請你根據圖1中的直角三角形敘述勾股定理(用文字及符號語言敘述); 
[嘗試證明]
以圖1中的直角三角形爲基礎,可以構造出以a、b爲底,以a+b爲高的直角梯形(如圖2),請你利用圖2,驗證勾股定理;
[知識拓展]

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